Problemi nonlocali di tipo Laplaciano Frazionario

Descrizione

Attraverso l’uso di opportuni metodi topologici e variazionali, è possibile considerare questioni relative all’esistenza, alla molteplicità e alle proprietà qualitative delle soluzioni di differenti problemi non lineari coinvolgenti operatori non locali di tipo frazionario. Ricordiamo che negli ultimi anni questi operatori hanno ricevuto un notevole interesse dovuto alla loro applicazione in differenti ambiti della ricerca quali ottimizzazione, finanza, transizione di fase, diffusioni anomale, dislocazione dei cristalli, leggi di conservazione, meccanica quantistica e fenomeni di elasticità non locale. I problemi non locali non sono governati da equazioni alle derivate parziali ma piuttosto da equazioni integro-differenziali. La maggiore difficoltà nello studio di questi è legata al fatto che l’operatore portante deve tener conto del comportamento delle soluzioni anche nell’intero spazio e non solo localmente. Questo è in forte contrasto con le PDEs classiche che sono guidate da operatori differenziali locali come il Laplaciano. In modo particolare, consideriamo soluzioni eterocline per equazioni di Allen-Cahn frazionarie, soluzioni positive e nodali per equazioni non lineari frazionarie di tipo Schrödinger in RN con differenti tipi di potenziale e non linearità con crescita sottocritica, critica e supercritica, problemi frazionari di tipo Kirchhoff (degeneri e non), soluzioni periodiche per equazioni frazionarie, e soluzioni non banali a valori complessi per equazioni non locali con operatori frazionari con campi magnetici, modelli matematici per la caratterizzazione del comportamento elastico di materiali compositi.

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